Równanie Poissona

Zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) dana wzorem

\( \Phi (x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2\pi} \ln \|x\|,& {\rm dla}\hskip 0.5pc n=2;\\ \dfrac {1}{n(n-2) \alpha (n)}\dfrac{1}{\|x\|^{n-2}}, & {\rm dla} \hskip 0.5pc n\geq 3.\end{cases} \)

jest harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc x\neq 0.\hskip 0.3pc \) Jeśli początek układu przesuniemy do punktu \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) to funkcja \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi(x-y)\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc x\neq y.\hskip 0.3pc \) Zauważmy ponadto, że jeśli \( \hskip 0.3pc f:X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, to \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi(x-y)f(y)\hskip 0.3pc \) jest również funkcją harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc x\neq y\hskip 0.3pc \). Można by zatem oczekiwać, że funkcja

(2)

\( u(x)= \int_{\mathbb R^n}\Phi (x-y)\,f(y) dy \)

będzie rozwiązaniem równania Laplace'a

(3)

\( \Delta u =0, \qquad x\in \Omega\subset \mathbb R^n. \)

Okazuje się, że tak nie jest. Wynika to stąd, że funkcja \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi (x-y)\hskip 0.3pc \) ma osobliwość w punkcie \( \hskip 0.3pc x=y,\hskip 0.3pc \) a zatem nie możemy z operacją różniczkowania wejść pod całkę. Pokażemy natomiast, że dla dostatecznie regularnej funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) wzór ( 2 ) określa rozwiązanie równania Poissona

(4)

\( \Delta u +f=0, \qquad x\in \Omega\subset \mathbb R^n . \)

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc f \in C^2(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) jest równa zeru poza pewną kulą (tzn. posiada nośnik zwarty). Niech \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) będzie dane wzorem ( 2 ).

TEZA:

Wówczas:

(i) \( \hskip 0.5pc u \in C^2( \mathbb R^n); \)

(ii) \( \hskip 0.5pc \Delta u + f=0\hskip 0.5pc \) w \( \hskip 0.5pc\mathbb R^n. \)

DOWÓD:

Ad (i). Podstawiając \( \hskip 0.3pc z=x-y\hskip 0.3pc \) w całce ( 2 ) otrzymamy

(5)

\( u(x)=\displaystyle \int_{ \mathbb R^n}\Phi (z)\,f(x-z) \,dz. \)

Niech \( \hskip 0.3pc e_i =(0,\,\ldots ,\,1,\, \ldots, \,0)\hskip 0.3pc \) będzie wektorem którego \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.1pc \)-ta składowa jest równa \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) a pozostałe \( \hskip 0.3pc 0.\hskip 0.3pc \) Mamy

\( \dfrac{u(x+he_i)-u(x)}{h} =\displaystyle\int\limits_{R^n}\Phi (z)\,\dfrac{f(x+he_i-z)-f(x-z)}{h} dz. \)

Ponieważ iloraz różnicowy pod całką jest zbieżny jednostajnie, możemy z \( \hskip 0.3pc h\hskip 0.3pc \) przejść do \( \hskip 0.3pc 0. \hskip 0.3pc \) Otrzymamy

\( \dfrac{\partial u}{\partial x_i}=\displaystyle \int_{ \mathbb R^n}\Phi (z) \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x-z)\,dz \)

Analogicznie dostaniemy

\( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=\displaystyle \int_{ \mathbb R^n}\Phi (z) \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x-z)\,dz. \)

Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc u \in C^2( \mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)

Ad (ii). Różniczkując wzór ( 5 ) mamy

(6)

\( \Delta_x u(x)=\displaystyle \int\limits_{ \mathbb R^n}\Phi (z)\,\Delta_x f(x-z)\, dz \,\,=\,\, I_1+I_2, \)

gdzie

\( I_1=\displaystyle \int_{B (0,\,\varepsilon)}\Phi (z) \Delta_xf(x-z)\, dz, \qquad I_2=\displaystyle \int_{\mathbb R^n\setminus B (0,\varepsilon)}\Phi (z) \Delta_xf(x-z)dz. \)

(Symbol \( \hskip 0.3pc \Delta_x\hskip 0.3pc \) oznacza laplasjan względem zmiennej \( \hskip 0.3pc x.\hskip 0.3pc \)) Ponieważ funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) ma osobliwość w punkcie \( \hskip 0.3pc 0,\hskip 0.3pc \) szacujemy całkę ( 5 ) w obszarach \( \hskip 0.3pc B(0,\, \varepsilon)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n \setminus B(0,\,\varepsilon).\hskip 0.3pc \)
Nietrudno sprawdzić, że

\( |I_1|\leq \|\Delta_x f\|_{\infty}\displaystyle\int\limits_ {B (0,\,\varepsilon)}|\Phi (z)|\,dz\leq \begin{cases} C \varepsilon^2(| \ln \varepsilon |+1) , & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc n=2;\\C\varepsilon^{n/2+1},& {\rm jeśli} \hskip 0.5pc n\geq 3 ,\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) jest stosownie dobraną stałą. Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc I_1 \to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \varepsilon \to 0.\hskip 0.3pc \)
Przed przystąpieniem do szacowania całki \( \hskip 0.3pc I_2\hskip 0.3pc \) przypomnijmy dwa użyteczne w dalszym ciągu wzory:

\( \Delta u \,=\,\, {\rm grad}\,u\cdot {\rm grad}\,u\, = \, \nabla u\cdot \nabla u, \qquad \dfrac {\partial u}{\partial \nu }\,=\, {\rm grad}\,u\cdot \nu\, =\, \nabla u\cdot \nu, \)

gdzie symbol \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) oznacza iloczyn skalarny, a \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) wektor normalny do powierzchni całkowania.
Całkując \( \hskip 0.3pc I_2\hskip 0.3pc \) przez części (zob. wzór 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena"), otrzymany

\( I_2\,\, = \,\,\displaystyle\int_{\partial B (0,\,\varepsilon)}\Phi (z)\dfrac{\partial f}{\partial \nu}(x-z) dS(z)-\,\, \displaystyle\int_{\mathbb R^n\setminus B(0,\,\varepsilon)} \nabla \Phi (z)\cdot \nabla_z f(x-z)\,dz. \)

Połóżmy

\( J_1=\displaystyle\int_{\partial B (0,\,\varepsilon)}\Phi (z) \dfrac{\partial f}{\partial \nu}(x-z)dS(z), \qquad J_2 = \displaystyle\int_{\mathbb R^n\setminus B (0,\,\varepsilon)} \nabla \Phi (z)\cdot \nabla_z f(x-z)\,dz. \)

Oszacujemy teraz całki \( \hskip 0.3pc J_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc J_2. \hskip 0.3pc \) Nietrudno sprawdzić, że

\( |J_1|\leq \|\dfrac {\partial f}{\partial \nu}\|_{\infty}\displaystyle\int\limits_ {\partial B (0,\,\varepsilon)}|\Phi (z)|\,dS(z)\leq \begin{cases} C \varepsilon | \ln \varepsilon |, & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc n=2;\\C\varepsilon,& {\rm jeśli} \hskip 0.5pc n\geq 3 ,\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) jest stosownie dobraną stałą. Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc J_1 \to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \varepsilon \to 0.\hskip 0.3pc \)
Stosując w całce \( \hskip 0.3pc J_2 \hskip 0.3pc \) wzór Greena, a nastepnie fakt, że \( \hskip 0.3pc \Delta \Phi (z)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc z \neq 0,\hskip 0.3pc \) otrzymujemy

\( J_2= \displaystyle\int_{ \partial B (0,\varepsilon)} f(x-z)\dfrac{ \partial \Phi (z)}{\partial \nu} dS(z)-\displaystyle\int_{ \mathbb R^n\setminus B (0,\,\varepsilon)}f(x-z)\Delta\Phi (z) \,dz =\displaystyle \int_{ \partial B (0,\,\varepsilon)}f(x-z)\dfrac{\partial \Phi (z)}{\partial \nu} dS(z). \)

Zauważmy, że na sferze \( \hskip 0.3pc B(0,\,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) wektor normalny \( \hskip 0.3pc \nu=\dfrac{z}{\|z\|}= \dfrac {z}{\varepsilon}\hskip 0.3pc \), zatem

\( \dfrac{\partial \Phi (z)}{\partial \nu}=\,\, \nabla \Phi (z)\cdot \nu\,\,=\,\, -\dfrac{1}{n\alpha (n)}\dfrac{z}{\|z\|^n}\,\cdot \dfrac{z}{\varepsilon}\,\, =\,\,-\dfrac{1}{n\alpha (n)\varepsilon ^{n-1}}. \)

Wynika stąd, że

\( J_2\,=\, -\dfrac{1}{n\alpha (n)\varepsilon ^{n-1}}\displaystyle\int_{\partial B (0,\varepsilon)}f(x-z)dS(z). \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc n\alpha (n)\varepsilon ^{n-1}\hskip 0.3pc \) jest powierzchnią sfery jednostkowej w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) prawa strona ostatniego wzoru określa średnią wartość funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) na sferze \( \hskip 0.3pc \partial B(0,\,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) i wobec ciągłości funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) całka \( \hskip 0.3pc J_2\hskip 0.3pc \) dąży do \( \hskip 0.3pc -f(x)\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \varepsilon \to 0.\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc I_1 \to 0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc J_1 \to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \varepsilon \to 0,\hskip 0.3pc \) warunek (ii) jest natychmiastową konsekwencją równości ( 6 ).

Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego.

Równanie przewodnictwa cieplnego, zwane też równaniem dyfuzji, opisuje w jaki sposób zmienia się w czasie gęstość pewnej wielkości, np. temperatury, stężenia chemicznego czy potencjału elektrycznego. Przykłady zjawisk które możemy opisać tego typu równaniem zostały podane w module "Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych".
Rozważmy przypadek jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego

(7)

\( u_t = \Delta u, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc u:\,\mathbb R^n\times R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\, \ldots ,\, x_n)\in\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) a symbol \( \hskip 0.3pc \Delta =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial ^2}{\partial x_i^2}\hskip 0.3pc \) oznacza operator Laplace'a.
Chociaż zaproponowaną poniżej metodę można bez żadnych istotnych zmian stosować dla dowolnego \( \hskip 0.3pc n\geq 1,\hskip 0.3pc \) dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) czyli do równania

(8)

\( u_t= u_{xx},\qquad x\in \mathbb R,\hskip 0.5pc t>0. \)

Zauważmy, że jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc u=u(x,t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 8 ), to również funkcja \( \hskip 0.3pc u=u(\lambda x,\,\lambda^2t),\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \lambda \in \mathbb R,\hskip 0.3pc \) jest również rozwiązaniem równania ( 8 ). Nasuwa się stąd pomysł, aby szukać rozwiązań wzdłuż krzywych \( \hskip 0.3pc \{\big(\lambda x,\,\lambda^2t\big):\hskip 0.2pc \lambda \in\mathbb R\},\hskip 0.3pc \) tzn. krzywych wyznaczonych przez stosunek \( \hskip 0.3pc\dfrac{ (\lambda x)^2}{\lambda ^2t},\hskip 0.3pc \) czyli rozwiązań postaci

\( u(x,t)= v\Big( \dfrac {x^2}{t}\Big). \)

Prosty rachunek daje

\( u_t= v^\prime\Big( \dfrac {x^2}{t}\Big)\Big( -\dfrac {x^2}{t^2}\Big), \quad u_x= v'\Big( \dfrac {x^2}{t}\Big)\, \dfrac {2x}{t},\quad u_{xx}= v^{\prime\prime}\Big( \dfrac{x^2}{t}\Big)\, \dfrac {4x^2}{t^2}+v^\prime\Big( \dfrac{x^2}{t}\Big)\, \dfrac {2}{t}. \)

Podstawiając uzyskane wielkości do równania ( 8 ) otrzymamy

\( \dfrac{4x^2}{t^2}v^{\prime\prime}\Big( \dfrac{x^2}{t}\Big)+ \dfrac{x^2}{t^2}v'\Big( \dfrac{x^2}{t}\Big)+ \dfrac {2}{t} v^\prime\Big( \dfrac{x^2}{t}\Big) =0, \)

a kładąc \( \hskip 0.3pc z=\dfrac {x^2}{t}\hskip 0.3pc \) mamy

\( 4zv^{\prime\prime}(z)+(2+z)v^\prime (z)=0. \)

Rozwiązując ostatnie równanie dostajemy

\( v(z)=A\displaystyle\int_0^z \dfrac{1}{\sqrt s}e^{-s/4}ds +B. \)

Zatem funkcja

(9)

\( u(x,t)=A\displaystyle\int_0^{x^2/t} \dfrac{1}{\sqrt s}e^{-s/4}ds +B, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania ( 8 ) dla \( \hskip 0.3pc x \in \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \).
Rozwiązanie to ma dość niewygodną postać całkową. Różniczkując funkcje ( 9 ) względem zmiennej \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \widetilde u(x,t) = \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,t)= \dfrac{A \sqrt t}x e^{-\dfrac{x^2}{4t}}\,\dfrac {2x}t =\dfrac{2A}{\sqrt t}e^{-\dfrac{x^2}{4t}}. \)

Oczywiście tak uzyskana funkcja jest również rozwiązaniem równania ( 8 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D=\{(x,t):\,\, x \in \mathbb R,\hskip 0.3pc t>0\}\hskip 0.3pc \). Wygodnie jest - co będzie widać z dalszych rozważań - przyjąc \( \hskip 0.3pc A= \dfrac 1{4\sqrt{\pi}}\hskip 0.3pc \) (Przy tak ustalonej stałej \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) otrzymamy rozwiązanie z którego całka jest równa \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \)).
Funkcję

(10)

\( \Phi(x,t)=\begin{cases}\dfrac {1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\dfrac{x^2}{4t}}, & {\rm jesli}\hskip 0.5pc x\in \mathbb R,\hskip 0.3pc t>0;\\0, & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc x\in \mathbb R,\hskip 0.3pc t<0,\end{cases} \)

nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania ( 8 ). Zauważmy, że dla \( \hskip 0.3pc t=0\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) ma osobliwość.
Dla \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) przez rozwiązanie podstawowe równania ( 7 ) rozumiemy funkcję

(11)

\( \Phi(x,t)=\begin{cases}\dfrac {1}{(\sqrt{4\pi t})^n}e^{-\dfrac{\|x\|^2}{4t}}, & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc x\in R^n,\hskip0.3pct>0;\\0, & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc x\in R^n,\hskip 0.3pct<0,\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \|x\|=\sqrt{x_1^2+ \ldots +x_n^2}.\hskip 0.3pc \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Równanie Poissona

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD: